Статистические ловушки при интерпретации и сравнении доходностей инвестиционных портфелей

Владимир Твардовский, PhD, член Клуба, создатель и руководитель алгоритмической компании Investment and Financial Technologies, LLC, написал несколько конструктивных комментариев к нашему исследованию White Paper on Alpha vs. RTS. Мы благодарим Владимира, и рекомендуем вам ознакомиться с его текстом для лучшего понимания чисел, на которых был основан анализ!


Недавно коллектив авторов Moscow Hedge Fund Managers Club при поддержке InvestFunds сделал замечательную публикацию, сравнивающую эффективность управления российскими ПИФами, ориентирующимися на акции и хедж-фондами, управляемыми «российскими» командами, со схожим инвестиционным профилем. Бенчмарком служил индекс РТС, анализ охватил десять лет с 2010 по 2019 год включительно. Ответ, полученный исследователями, заключается в том, что российские паевые инвестиционные фонды как группа практически не генерируют Альфу относительно Индекса РТС, в то время как российские хедж-фонды, ориентированные на российские акции, как группа, имеют положительную Альфу. Ознакомиться с самим исследованием, методологией можно тут: https://investfunds.ru/analytics/229823/download/


Эти выводы сделаны на основании следующих агрегированных авторами доходностей по пифам акций и хедж-фондам, инвестирующих в российские акции за 10 лет. В качестве бенчмарка был выбран индекса РТС (RTSI). Агрегированные данные представлены в Таблице1:


Таблица 1. Агрегированные доходности паевых фондов акций и хедж-фондов, ориентирующихся на российские акции в сравнении с индексом RTSI.

Первое что бросается в глаза – это то, что годовая Альфа (разница между доходностью инвестиционного портфеля и доходностью бенчмарка) составляет всего 2.7% для хедж-фондов и ничтожные 0.9% для паевых фондов. Это очень мало для Альфы с такими рисками. Так, 0.9% годовых, ‑ это существенно меньше средней ставки по долларам в безрисковых инструментах, которая, например, в 10USTB за тот же период составила примерно 2.35%. Выводы из этого сравнения предоставим делать читателю.


Второе, на что хотел бы обратить внимание, ‑ это на сам бенчмарк. Обычно сравнивая свои инвестиции с индексом, выбирают RTSI, как самый известный Российский индекс в долларах. В то же время для фондов, по крайней мере, для паевых фондов, которые не открывают в акциях короткие позиции, разумнее сравнивать доходность инвестиций на десятилетнем треке с доходностью так называемого индекса полной доходности брутто (RTSTR), который учитывает дивиденды. За десять лет дивиденды приносят ощутимый доход к портфелю, особенно с учетом реинвестирования.


Ниже на картинке представлена динамика двух индексов RTSI (индекс РТС) и RTSTR (индекс полной доходности брутто, составленный на базе индекса RTSI) за исследованный период:


Видно, что к концу периода накапливается значительная положительная разница в пользу полного индекса за счет дивидендных историй.


Суммарная Альфа полного индекса по сравнению с RTSI составила за 10 лет целых 60.9% (все доходности здесь и в исходном исследовании посчитаны с учетом ежегодной капитализации доходов) или в среднем 6.09% за каждый год. Это существенно выше, чем средняя 0.9% для Альфы паевых инвестиционных фондов акций. И даже выше, чем средняя Альфа «российских» хедж-фондов. С этой точки зрения индустрия как паевых инвестиционных фондов, работающая в пользу «улицы», так и хедж-фондов, предназначенная для квалифицированных инвесторов, полностью проиграла рынку с учетом выплаченных дивидендов.


Наконец, давайте посмотрим не на показатели годовых доходов индексов и фондов en masse, а на них же, но как на временной ряд, каковыми они и являются. Динамика их роста с учетом реинвестирования показана на рисунке ниже.

Во-первых, мы явно видим, что и хедж-фонды (зеленая линия) и паевые фонды (красная линия) ведут себя достаточно коррелировано к индексу РТС. И в самом деле, коэффициенты корреляции составляют 98% и 91%, соответственно.


Во-вторых, если присмотреться, то можно заметить, что основное различие между накопленными доходами хедж-фондов (зеленая линия) и доходами паевых фондов (красная линия) формируется в первые четыре года. А потом их динамика значимо не различается. Чтобы проверить, не обман ли — это зрения, построим график разницы между накопленным доходом для хедж-фондов и аналогичным показателем для паевых фондов. Вот эта разница на картинке ниже:

И действительно, на графике видно, что после 2013 года хедж-фонды более не демонстрируют опережающей динамики по сравнению с паевыми фондами.


Можно было бы сделать вывод, что на падающем рынке (2010 – 2014 гг.) хедж-фонды за счет большей гибкости и возможности занимать короткие позиции имеют явное преимущество перед паевыми фондами. Но такой вывод хоть он и лежит на поверхности, а также соответствует здравому смыслу, не может быть достоверно, т.е. статистически подтвержден. Для этого у нас просто не хватает данных.


Вернемся, однако, к расчетам исходной публикации. О чем еще хотелось бы упомянуть, так это об ошибках в определении средних для выборки из не генеральной совокупности. Поставим вопрос так: насколько мы можем доверять полученным в оригинальной публикации числам 0.9% и 2.7%? Или, другими словами, какова точность, с которой найдены эти два числа? Ответ на этот вопрос дает другой статистический показатель – среднеквадратичное отклонение случайной величины от ее среднего. Если у нас есть N наблюдений (в нашем случае N =10 по числу лет), то добавление новой информации (еще одного года) увеличивает достоверность нашего среднего, но при этом меняет его. На какую величину может измениться среднее? Ответ очевиден: поскольку среднее есть сумма всех величин, деленная на N, то добавление новой величины (которая может отличаться от среднего на величину порядка среднеквадратичного отклонения) способно изменить само среднее по выборке на величину среднего отклонения, деленную на N. То есть, ошибка, с которой мы определяем среднее по выборке, должна была бы быть равна среднеквадратичному отклонению std, деленному на N. Однако само среднеквадратичное отклонение, если случайные величины распределены по нормальному закону, растет как корень из N. Потому оценка ошибки среднего может быть получена как стандартное отклонение деленное на корень из N. Точный математический вывод этого закона дает погрешность определения среднего как ±std(Alpha)/N, а сама эта погрешность носит название стандартной ошибки среднего. Попробуем вычислить эту ошибку.


Для этого посмотрим, еще раз на имеющиеся у нас данные по доходам за каждый из 10 лет (см. Таблицу 1). Эти данные позволяют нам вычислить не только Альфы за 10ти летний период и в среднем, как сделано в оригинальной публикации, но и посчитать среднеквадратичные отклонения этих Альф. Такой расчет дает 7.9% для паевых фондов и 12.3% для хедж-фондов:


Таблица 2.Средние годовые и среднеквадратичные отклонения Альфы

Видно, что среднеквадратичные отклонения обоих Альф значительно превышают оценки их средних значений. Это означает, что при малом числе наблюдений (а их у нас реально мало, потому как 10 – это слишком малое число наблюдений для статистики) каждое новое наблюдение (каждый следующий год) могут существенно сдвинуть значения оцениваемых нами средних в ту или иную сторону. И точно также это означает, что получаемые результаты будут сильно зависеть от начальной точки. Начни мы наблюдения и расчеты не с 2010 года, а скажем 2013го, или с 2007го, мы могли бы прийти чуть ли не к противоположным выводам.


Тем не менее, у нас есть только те наблюдения, которые есть. Попробуем с их помощью, пусть и грубо, определить границы, в которых лежат реальные Альфы. Например, мы можем легко получить, что с вероятностью примерно 68%, истинная средняя годовая Альфа для хедж-фондов лежит в диапазоне от -1.2% до + 6.5%. Полная таблица верхней и нижней оценок Альф для паевых инвестиционных фондов и для хедж фондов приведена в таблице ниже с уровнем достоверности в одну (68%) и две сигмы (95%).


Таблица 3.

Видно, что области вероятных значений для среднегодовой Альфы паевых инвестиционных фондов в значительной мере лежат внутри областей вероятных значений Альфы для хедж-фондов. Соответственно, статистически обе эти Альфы близки, и мы не можем на основании только имеющихся у нас данных делать достоверные утверждения о том какая из них реально больше, а какая меньше.


В заключение, хочу указать на еще один парадокс, который может вводить в конфуз. Как следует из оценок стандартных отклонений Альфы и самих средних значений (см. Таблицу 2), доходы хедж-фондов должны были бы быть более волатильны, чем доходы паевых инвестиционных фондов. Потому как


Std(Alpha Mutual Fund) =7.9% < Std(Alpha Hedge Fund) =12.3%


Но на самом деле, это не так. В чем причина ошибки? В том, что доходности паевых фондов очень коррелированы (98%) с доходностями индекса РТС. Соответственно средние Альфы паевых фондов и среднеквадратичные отклонения этих Альф достаточно малы по сравнению с отклонениями Альф для хедж-фондов. В реальности же портфели ПИФов по акциям не менее, а более волатильны, чем индекс РТС.


Для того чтобы получить правильный ответ сравнивать надо не стандартные отклонения Альф, а стандартные отклонения чистых доходностей за период. Если мы проделаем такое упражнение как поиск средних доходностей за период, стандартных отклонений, то сможем посчитать также и показатель Шарпа. Результаты таковы:


Таблица 4. Ср. доходности, стандартные отклонения, показатели Шарпа и ошибки среднего.


Здесь уже неоспоримо видно доминирование инвестиционных менеджеров хедж-фондов над коллегами из коллективных инвестиций: волатильность их портфелей ниже, чем волатильность как взаимных фондов, так и самого бенчмарка. Шарп хедж-фондов также выше и того и другого.

ИП Бобошко Михаил Сергеевич © 2013 - 2020

  • White Facebook Icon
  • Белый LinkedIn Иконка